在几何学，某个曲线族的包络线（Envelope），是跟该曲线族的每条线都有至少一点相切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）
曲线族可以表示为关于\(t\)的方程, 又由于包络线不会因为t改变,所以其关于\(t\)的偏导数恒为0,
联立方程,
\(\left \{ \begin{aligned} &F(x, y, t) = 0 \\ &\dfrac{\partial}{\partial t} F(x, y, t) = 0 \end{aligned} \right .\)
解出\(x\),\(y\)关系,即为包络线方程。
例题:
如图所示，光滑墙角\(xOy\)上，竖直放置一长度为 1米 的爬梯，求爬梯下滑过程中扫过区域。
注意到每个\(t\in [0, 1]\)都可以确定当爬梯底端横坐标为 \(t\) 时爬梯所在直线的方程:
\[y=\dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2}\\\iff F(x, y, t) = y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2} = 0
\]
根据上述方法，联立方程：
\[\left\{\begin{aligned}y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2} = 0\\ \dfrac{\partial}{\partial t}\left[y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2} = 0\right] = 0 \end{aligned} \right .
\]
x,y当作常数
\[y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2}=\\(x-t)\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}+\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t^2}\right)+\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t}=0\\\therefore x=t-\dfrac{\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t}}{\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}+\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t^2}}=t^3
\]
带回\((1):\)
\[\\y-\dfrac{t-t^3}{t}\sqrt{1-t^2}=0\\y=(1-t^2)^{3 \over 2}\\x^{2 \over 3} + y^{2 \over 3}=1
\]
所以扫过区域即为\(x^{2 \over 3} + y^{2 \over 3}=1\)和两坐标轴围成图形。
