本节主要介绍了雷达信号的数学表示、模糊函数与雷达分辨率的关系、线性调频脉冲信号及其压缩处理、多脉冲积累的处理方法
雷达信号的数学表示
雷达的发射信号一般是除初相外其余参量均已知的确知信号
回波信号则是与噪声、干扰叠加的随机信号
信号可以用时间的实函数$s(t)$表示，称为实信号，其特点具有有限的能量或有限的功率
能量有限的信号称为能量信号，描述能量信号的频谱特性通常采用能量谱密度（ESD）函数
其中$s(t)$代表信号
能量无限但功率有限的信号，称为功率信号，对于功率信号，功率谱密度（PSD）函数定义为：
其中$r_s(t) = \int_{-\infty}^{\infty}s^*(\tau)s(t+\tau)d\tau$为信号$s(t)$的自相关函数
按照信号的频率组成，可将信号划分为低通信号（Low Pass）信号和带通（Band Pass）信号。通常所用的雷达信号，其带宽比载波小很多，称为窄带（通）信号
一个实带通信号可表示为：
其中：$a(t)$为信号的幅度调制或包络，$\phi_x(t)$为相位调制项，$f_0$为载频
对于低分辨雷达，在一个波位上发射的多个脉冲的目标回波的包络$a(t)$通常近似认为不变
信号$x(t)$的频率调制函数$f_m(t)$和瞬时频率$f_i(t)$分别为：
实信号具有对称的双边频谱
对于窄带信号来说，由于其带宽远小于载频，两个边带频谱互不重叠，此时用一个边带频谱就能完全确定信号波形。为了简化信号和系统的而分析，通常采用具有单边频谱的复信号
常用的复信号白哦是，即实信号的复信号表示有两种：希尔伯特（Hilbert）变换法和指数表示法，对于窄带信号来说，这两种表示方法是近似相同的
1. 希尔伯特（Hilbert）变换表示法
一般地，复信号可表示为：
如果要求复信号具有单边频谱，那么就要对虚部有所限制
如果实信号$x(t)\Leftrightarrow X(f)$（$X(f)$为信号$x(t)$的傅里叶变换），定义其复解析信号为：
其中$U(f)$为频域的阶跃函数，利用傅里叶变换的性质可得：
其中，$\hat x(t) = \frac 1\pi \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau$为$x(t)$的Hilbert变换式
这样，复信号的频谱就可以满足使得原始实信号的负频分量相抵消，而正频分量加倍
实信号$x(t)$的能量和复解析信号$s_a(t)$的能量分别为：
2. 指数表示法
复解析信号在推导信号的一般特性时是有效的表示方式，但在分析具体信号时又极不方便，故常采用指数形式的复信号来代替复解析信号
实信号用指数形式的复信号实部表示为：
其中，$s_e(t) = a(t)e^{j[2\pi f_0 t+\phi_xt]} = u(t)e^{j2\pi f_0 t}$为实信号的复指数形式，而$u(t) = a(t)e^{j\phi_x(t)}$为复信号的复包络
窄带实信号、复信号和复包络之间的关系：
模糊函数与雷达分辨率1. 模糊函数
模糊函数最初是为了研究雷达分辨率而提出的，两个目标距离和速度上的差异是刚好可以用来相关函数模拟的，越相似相关函数越大，说明两个目标越难以区分
利用一对二维变量$(\tau, f_d)$来描述模糊函数，假设目标1和目标2的时延分别为$d$和$d+\tau$，多普勒频移分别为$f$和$f+f_d$，且功率相同
雷达的发射信号通常为窄带信号，用复信号可表示为：
目标1的回波信号可表示为：
则目标2的回波信号可表示为：
在分析分辨力时，通常利用积分方差来描述，具体来说就是当积分方差越大时，两个目标就越好区分
设$y_1 = X_R + jX_I, y_2 = X_R’+jX_I’$
$|y_1-y_2|^2 = X_R^2+X_R’^2-2X_RX_R’+X_I^2+X_I’^2-2X_IX_I’^2$
其中：$X_R^2+X_I^2 = |y_1|^2, X_R’^2+X_I’^2=|y_2|^2$
$y_1y_2* = X_RX_R’-jX_RX_I’+jX_IX_R’+X_IX_I’$
故：$|y_1-y_2|^2 = |y_1|^2+|y_2|^2-2Re|y_1y_2^*|$
故积分方差为：
定义$\chi(\tau,f_d)$为：
则模糊函数为：
$|\chi(\tau,f_d)|$式决定相邻目标距离-速度联合分辨率的唯一因素
有的文献也把$|\chi(\tau,f_d)|^2$当作模糊函数
由上述分析可得：
故$|\chi(\tau, f_d)|$的最大值为$2E$，此时两个目标重叠在一起，距离和速度一样
那么就意味着$\tau = 0，f_d =0$，即：
能够引起$\varepsilon^2 $被滤波器检出，那么这两个目标也就可以分开了。如果保持不$f_d$变，最小的$\tau$值引起的$\varepsilon^2 $能被滤波器检出，此时$\tau$对应的就是距离分辨率。同理多普勒分辨率
2. 分辨率2.1 距离分辨率
假设两个目标在同一角度但处在不同距离上，在不考虑相邻目标的多普勒频移（$f_d = 0$）时，有：
此时，信号的距离模糊函数为：
当$\tau = 0$时，$|\chi(\tau,0)|$有最大值，距离分辨率由$|\chi(\tau,0)|^2$的大小来衡量
当$\tau\neq 0$时，$|\chi(\tau,0)|$随$\tau$增大而下降的越快，距离分辨性能越好
时延分辨率为：
根据Parseval定理，上式可重写为：
$B$为信号的有效带宽
因此，时延分辨率对应的距离分辨率为：
只要信号具有大的持续带宽就能获得高的距离分辨率，而不必具有很窄的脉冲宽度
2.2 速度分辨率
与距离分辨率类似，信号的速度分辨率取决于速度模糊函数：
则多普勒分辨率$\Delta f_d$为：
式中：$\tau’$是脉冲宽度
则相应的速度分辨率$\Delta v$为：
2.3 距离-速度联合分辨率
定义模糊面积$AA$作为距离-速度联合分辨常数：
只要信号能量一定，模糊面积即为定值1
这就说明了时延和多普勒联合分辨率的限制，无论怎么使时延$\tau$或多普勒$f_d$分辨率的某一方减小，其结果都将带来另一方的增大，这就是雷达模糊原理
设计雷达信号时，只能在模糊原理的约束下通过改变模糊曲面的形状，使之与特定的目标环境相匹配
线性调频（LFM or Chirp）脉冲信号
线性调频信号是一种脉冲压缩信号，它是在匹配滤波理论的基础上提出的
这种信号的突出优点是匹配滤波器对回波信号的多普勒频率不敏感，即使回波信号有较大的多普勒频移，匹配滤波器仍能起到脉冲压缩的作用
线性调频矩形脉冲信号的表达式写为：
其中，信号的复包络为：
$T$为脉冲宽度，$\mu=\frac BT$为调频斜率，$B$为调频带宽，也称频偏
信号的瞬时频率为：
线性调频信号的频谱由信号的复包络完全决定
当$BT\gg1$时，信号95%以上的能量集中在$-\frac B2\sim \frac B2$的范围，频谱接近于矩形
线性调频脉冲信号的压缩处理
雷达系统为了满足提高探测距离和距离分辨率的双重要求，就要求采用大时宽 带宽 积 信号。脉冲压缩处理将发射的宽脉冲信号压缩成窄脉冲信号，它既可以发射宽脉冲以提高平均功率和雷达的检测能力，又能保持窄脉冲的距离分辨率
假设雷达发射线性调频脉冲信号，可表示为：
式中，$rect(\frac{t}{T_e})=1,|t|\le \frac12 T_e$，$T_e$为发射脉冲宽度，$f_0$为中心载频，$\mu = \frac B{T_e}$为调频斜率，$B$为调频带宽
该信号的复包络及其离散信号（采样间隔为$T_s$)为：
假设目标初始距离$R_0$对应的时延为$t_0$，即$t_0 = \frac{2R_0}{c}$，目标的径向速度为$v$，若不考虑幅度的衰减，则接收信号及其相对于发射信号的时延分别为：
则有：
其中：
这一部分暂时还没完全整明白，等整明白了再来记录
匹配滤波器的压缩比？？
为什么脉冲压缩对多普勒频率不敏感？
在频域和时域上的匹配滤波到底有个啥区别？
【雷达原理】脉冲压缩-匹配滤波的自己理解与参考资料 - KinoLogic - 博客园 (cnblogs.com)
多脉冲积累的处理方法1.多脉冲积累的概念
因为雷达单个脉冲的回波能量是有限的，通常不采用单个接收脉冲来进行检测判决
在判决之前，先对一个波位的多个脉冲串进行处理，以提高信噪比
这种基于多个脉冲串而非单个脉冲的处理方法称为积累
从时域上来说，积累是将一个波位内连续的M个重复周期同一距离单元的回波信号叠加起来（或加权叠加）
上述数据矩阵的横坐标为距离单元，由快时间采样得到；纵坐标为每个脉冲重复周期，在雷达中经常称其为慢时间采样
积累分相干积累和非相干积累：
相干积累是在包络检波器之前进行，利用接收脉冲之间的相位关系，可以获得信号幅度的叠加。这种积累起可以把所有的雷达回波能量直接相加
非相干积累是在包络检波以后进行，也称之为检波后积累或视频积累。由于信号在包络检波后失去了相位信息而只保留下幅度信息，所以检波后积累就不需要信号间有严格的相位关系，因此称为非相干积累
2.相干积累的处理方法
由于运动目标的回波包括多普勒频率$f_d$，当脉冲雷达的每个脉冲重复周期$T_r$相等，如果忽略目标回波的幅度起伏，则对目标所在距离单元的信号在每个$T_r$采样时，就可以看作是对频率为$f_d$的正弦波的采样，这时，第$i$个脉冲重复周期对目标的采样值可以表示为：
式中$M$表示在一个波位（半功率波束宽度）内发射的脉冲数
若$M$不是2的幂，则通过补零到2的幂（即$N = 2^n \ge M$），因为相干累加通常采用$FFT$的处理方法实现
上图中包括$L$个距离单元，则需要进行$L$次$2^n$点的$FFT$处理
于是目标所在距离单元、所在多普勒通道的输出为：
上式只有当$f_d=\frac{k}{T_rN}=\frac{k}{N}f_r$时才出现峰值
相干积累的特点：
$M$个脉冲进行相干积累的信噪比改善可以达到单个脉冲的$M$倍
也就是说，若要达到同样的检测性能，对单个脉冲的检测因子可以减低为$\frac1M$
因此，相干脉冲有利于降低发射功率或提高检测性能
